ポテンシャルが$r$のみの関数(中心力場)で、定常状態の場合のシュレーディンガー方程式は、
$$
\left[
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)
\right]\varphi(\pmb{r})
=\varepsilon\varphi(\pmb{r})\tag{1}
$$
となる。ラプラシアン$\nabla^2$は、球面極座標$(r,\theta,\phi)$では・・・
$0<x<a$にポテンシャルの壁がある場合の粒子の運動、トンネル効果について考える。
$$
\begin{aligned}
V(x)&=0\hspace{20pt}x<0,\hspace{10pt}x>a\\
V(x)&=V_0\hspace{17pt}0<x<a
\end{aligned}\tag{1}
$$
標準正規分布$\mathcal{N} (0,1)$の確率母関数は$M_Z(t)=E[e^{tZ}]=e^{t^2/2}$である。
ガンマ分布$X\sim Ga(\alpha,\beta)$について$Y=X/\beta$と変数変換したとき、$Y$の確率母関数は次のようになる。
$$
M_Y(t)=E[e^{tZ}]=\frac{1}{(1-t)^\alpha}
$$
波括弧テスト${[test]}$
クーロン場での動径方向のシュレーディンガー方程式の固有関数は
$$
\begin{aligned}
R_{1s}(r)&=
\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{\frac{3}{2}}
2\mathrm{e}^{-Zr/a_0}\\
\\
R_{2s}(r)&=
\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{\frac{3}{2}}
\frac{1}{\sqrt{2}}
\left(1-\frac{1}{2}\frac{Zr}{a_0}\right)
\mathrm{e}^{-Zr/2a_0}\\
R_{2p}(r)&=
\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{\frac{3}{2}}
\frac{1}{2\sqrt{6}}
\frac{Zr}{a_0}
\mathrm{e}^{-Zr/2a_0}
\end{aligned}
$$
球面調和関数は
$$
\begin{array}{ccl}
l=0:&s:
&Y^0_0=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\
\
l=1:&p0:
&Y^0_1=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta
\
&p\pm1:&Y^{\pm1}_1=\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}
\sin\theta \mathrm{e}^{\pm i\phi}
\end{array}
$$
角運動量$\pmb{l}$に結果を表にまとめると、
| 演算子 |
固有値 |
作用した結果 |
| $\pmb{l}^2$ |
$l(l+1)\hbar^2$ |
$\pmb{l}^2Y^m_l=l(l+1)\hbar^2Y^m_l$ |
| $l_z$ |
$m_l\hbar$ |
$l_zY^m_l=m_l\hbar Y^m_l$ |
| $l_+$ |
なし |
$l_+Y^m_l=\hbar\sqrt{(l-m)(l+m+1)}Y^{m+1}_l$ |
| $l_-$ |
なし |
$l_-Y^m_l=\hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}Y^{m-1}_l$ |
| $0<a$ |
$[a>0]$ |
| $\sqrt{a>0}$ |
$[\omega^2]$ |