P4.qmd

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title: "Taller 4"
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En este taller revisaremos algunos conceptos de probabilidad y muestreo, así como la revisión de las distribuciones de probabilidad disponibles

## Muestreo aleatorio

Podemos usar la función `{sample()}`

```{r}

sample(1:19, size=1)

sample(x=c("Erick", "Emmanuel", "Scandra", "Daniela", "Alberto"),
       size=2)

sample (x =1:6, 
       size = 10,
       replace = T,
       prob= c(1/5,1/5,1/5, 0, 1/5, 1/5))


```


## Juegos de azar

Con R podemos jugar juegos de azar: digamos, tirar un dado o lanzar una moneda, y mucho más rápido que nosotros. Y con eso vamos establecer algunos elementos esenciales de la probabilidad

El comando principal es "sample" 
Tenemos que decir a R de dónde elegimos y cuántos elegir. R puede muestrear con y sin reemplazo. 
<b>Con reemplazo</b> significa que elegimos un elemento de nuestro universo  y lo devolvemos. 
<b>Sin reemplazo</b> significa qn elemento de nuestro universo y no lo devolvemos. 

## Un dado
Entonces, digamos que queremos que R lance un dado de seis caras una vez. Vamos a usar un nuevo formato para escribir una secuencia de números, como ya los habíamos aprendido.
```{r}
1:6
dado<-1:6
```

Si quisiéramos tirar ese dado una vez, es decir con "sample", tomaríamos una muestra de tamaño 1 de ese universo:
```{r}
sample(1:6, 1)
sample(dado, 1)

```

Si quisiéramos lanzar muchas veces más ese dado:
```{r}
sample(1:6, 10, replace = T)
sample(dado, 10, replace = T)

```

Retomando lo último que vimos en la práctica pasada, podemos hacer una función
```{r}
tirar_dado <- function(n) {
  sample(1:6, n, rep = T)
}
tirar_dado(10)

```

##  Tirar una moneda
```{r}
moneda<-c("Aguila", "Sol")
sample(c("Aguila", "Sol"), 1)
sample(moneda, 1)

```
También podemos hacer una función
```{r}
tirar_moneda <- function(n) {
  sample(c("Aguila", "Sol"), n, rep = T)
}
tirar_moneda(10)

```
Podemos hacer una función más general que use nuestros objetos moneda y dado
```{r}
tirar<-function(data,n) {
    sample(data, n, rep = T)
}
tirar(dado,1)
tirar(moneda,2)

```



## Aleatorio, pero regular
Con estas funciones ya podemos ver qué pasa con nuestras probabilidades cuando repetimos 


Veamos con el dado
```{r}
dado_millon<-tirar_dado(1000000)
table(dado_millon)

```

Veamos con la moneda
```{r}
moneda1000<- tirar_moneda(1000)
table(moneda1000)
prop.table(table(moneda1000))
```
Que tal si tiramos un millón
```{r}
moneda_millon<- tirar_moneda(1000000)
table(moneda_millon)
prop.table(table(moneda_millon))
```


## Distribuciones 

Las distribuciones nos permiten hablar de variables aleatorias

Pensemos en nuestro ejemplo de la moneda, si tenemos que podemos tener un resultado como éxito y otro como fracaso, podemos tener reescrito nuestro dado

```{r}
bernoulli<-c(0,1)
```

Hagamos nuestro experimento
```{r}
tirar(bernoulli,1)

```

Si hacemos un experimento Bernoulli más de una vez, tenemos ya una distribución binomial 
```{r}
tirar(bernoulli,2)
```


## Distribuciones precargadas
En realidad hemos estado jugando ya con parámetros de las distribuciones. Cuando tiramos una moneda una probabilidad ímplicita, al hacer nuestras funciones de tirar basadas en "sample" es que todas tienen las misma probabilidad (o juego limpio). Pero no siempre es así.

Daremos un paseo por las distribuciones más famosas y para qué sirven:

```{r}
help(Distributions)
```

Para cada distribución de probabilidad, R dispone de cuatro sub-funciones, que sirven como prefijos:

<li>d: función de densidad o de probabilidad. </li>
<li>p: función de distribución </li>
<li>q: función para el cálculo de cuantiles. </li>
<li>r: función para simular datos con dicha distribución.</li>


### Binomial

<li>P(X=k) =dbinom(k,n,p) </li>
<li>P(X≤k) =pbinom(k,n,p) </li>
<li>qa=min{x:P(X≤x)≥a} =qbinom(a,n,p)</li>
<li>rbinom(m,n,p) genera m valores aleatorios con esta distribución</li>

Si X≈B(25,0.6) tenemos:

P(X=10)
```{r}
dbinom(10,25,0.6)

```

P(X≤10)
```{r}
pbinom(10,25,0.6)
```
o también:

```{r}
sum(dbinom(0:10,25,0.6))
```


q0.95=min{x:P(X≤x)≥0.95}

```{r}
qbinom(0.95,25,0.6)
```


Simulamos 30 valores de esta distribución:
```{r}
rbinom(30,25,0.6)
```


Podemos representar fácilmente la función de probabilidad de la distribución binomial:

```{r}
plot(dbinom(0:30,30,0.6),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Función de Probabilidad B(30,0.6)")
```

El efecto de "p" en la distribución
```{r}
plot(dbinom(0:30,30,0.3),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Función de Probabilidad B(30,0.3)")

plot(dbinom(0:30,30,0.5),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Función de Probabilidad B(30,0.5)")

plot(dbinom(0:30,30,0.9),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Función de Probabilidad B(30,0.9)")
```

### Distribución Normal

Si X sigue una distribución normal N(μ,σ), entonces:
<li>f(x) = dnorm(x,mu,sigma)</li>
<li>P(X≤k) = pnorm(x,mu,sigma)</li>
<li>qa=min{x:P(X≤x)≥a} = qnorm(a,mu,sigma)</li>
<li>rnorm(n,mu,sigma) genera n valores aleatorios N(μ,σ)</li>

Supongamos que X≈N(200,50). Entonces:
Calculamos f(150)

```{r}
dnorm(150,200,50)
```

Podemos hacer varios valores posibles
```{r}
x<-seq(0,400,by=0.5)
dnorm(x,200,50)
```

Con esto también podemos graficar
```{r}
curve(dnorm(x,200,50),xlim=c(0,400),col="blue",lwd=2,
      xlab="x",ylab="f(x)",main="Función de Densidad N(200,50)")
```


Calculamos la probabilidad P(X≤180)
```{r}
pnorm(180,200,50)
```

P(X>168)
```{r}
1-pnorm(168,200,50)
pnorm(168,200,50, lower.tail=FALSE)

```

P(150≤X≤168)
```{r}
pnorm(168,200,50)-pnorm(150,200,50)
```