Skip to content
This repository was archived by the owner on Jan 5, 2026. It is now read-only.

Chapter6.md

Latest commit

 

History

History
161 lines (118 loc) · 3.83 KB

Chapter6.md

File metadata and controls

161 lines (118 loc) · 3.83 KB

The Normal Distribution and Other Continuous Distributions:

The file : 📂 chapter6-26.pdf

Learning Objectives

  • Compute probabilities from the normal distribution
    حساب الاحتمالات باستخدام التوزيع الطبيعي
  • Use the normal probability plot to check normality
    استخدام مخطط الاحتمال الطبيعي للتحقق من التوزيع الطبيعي
  • Compute probabilities for uniform and exponential distributions
    حساب احتمالات التوزيع المنتظم والتوزيع الأسي

Continuous Random Variables

A continuous random variable can take any value on a continuum.
المتغير العشوائي المستمر يمكنه أخذ أي قيمة ضمن مجال مستمر.

Examples:

  • time
  • temperature
  • height

Important:

  • Probability of a single exact value = 0
    احتمال قيمة واحدة محددة يساوي صفر

The Normal Distribution

Properties:

  • Bell-shaped and symmetric
    على شكل جرس ومتناظر
  • Mean = Median = Mode
    المتوسط = الوسيط = المنوال
  • Defined by:
    • μ (mean): location
      μ يحدد موقع المنحنى
    • σ (standard deviation): spread
      σ يحدد مقدار الانتشار
  • Theoretical range: -infinity to +infinity
    المدى النظري من سالب مالانهاية إلى موجب مالانهاية

Normal Probability Density Function (Concept Only)

f(X) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(X - μ)^2 / (2σ^2))

Where:

  • μ = population mean
  • σ = population standard deviation

Note:

  • Usually NOT required to memorize for quizzes
    غالبًا لا يُطلب حفظها في الكويز

Effect of Parameters

  • Changing μ shifts the curve left or right
    تغيير μ يحرك المنحنى يمينًا أو يسارًا
  • Changing σ changes the spread
    تغيير σ يغير مدى الانتشار

Standardized Normal Distribution (Z)

Any normal distribution can be converted to Z.
أي توزيع طبيعي يمكن تحويله إلى Z.

Z distribution:

  • Mean = 0
  • Standard deviation = 1

Z-Score Formula

Z = (X - μ) / σ

Meaning:

  • Z tells how many standard deviations X is from the mean
    Z تخبرك كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط

Interpretation:

  • Z > 0 → above the mean
  • Z < 0 → below the mean

Probability as Area

  • Probability equals area under the curve
    الاحتمال يساوي المساحة تحت المنحنى
  • Total area = 1
  • Half above μ and half below μ

Standard Normal Table (Z Table)

  • Table gives P(Z < value)
    الجدول يعطي احتمال أن Z أصغر من قيمة

Example:

  • P(Z < 2.00) = 0.9772

General Steps to Solve Normal Probability Problems

  1. Draw the normal curve
    ارسم المنحنى
  2. Convert X to Z using the formula
    حوّل X إلى Z
  3. Use the Z-table
    استخدم جدول Z

Types of Exam Questions (VERY IMPORTANT)

1. Lower Tail

P(X < a)
احتمال أن X أصغر من قيمة

2. Upper Tail

P(X > a) = 1 - P(Z ≤ a)
احتمال أن X أكبر من قيمة

3. Between Two Values

P(a < X < b) = P(Z < b) - P(Z < a)
احتمال أن X بين قيمتين

Example (Pop Quiz Style)

Given: X ~ Normal(μ = 8, σ = 5)

Find: P(X < 8.6)

Step 1: Convert to Z
Z = (8.6 - 8) / 5 = 0.12

Step 2: Use Z-table
P(Z < 0.12) = 0.5478

Answer: P(X < 8.6) = 0.5478

What to Memorize for the Quiz

  • Shape and properties of the normal distribution
  • Meaning of μ and σ
  • Z-score formula
  • How to use the Z-table
  • Lower tail, upper tail, and between probabilities

Not required:

  • Full density function formula (usually)